Définition :
Soit \(\alpha\in{\Bbb K}\) une racine de \(P\in{\Bbb K[X]}\)
Le plus grand entier \(m\) tq \((X-\alpha)^m\) divise \(P\) est appelé la multiplicité de la racine \(\alpha\)
Définition :
\(\alpha\) est une racine de multiplicité \(m\geqslant1\) si \((X-\alpha)^m\) divise \(P\) mais \((X-\alpha)^{m+1}\) ne divise pas \(P\)
(Racine, Division de polynômes)
Corollaire :
Une racine \(\alpha\) d'un polynôme \(P\) est de multiplicité \(m\) si et seulement s'il existe un polynôme \(Q\in{\Bbb K[X]}\) tq $${{P=(X-\alpha)^mQ}}\quad\text{ et }\quad {{Q(\alpha)\neq0}}$$
(Racine, Division de polynômes)
Démonstration :
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Racine simple, Racine double, Racine triple, Racine multiple
Lemme :
Soit \(m\in{\Bbb N}^\star\) et \(P\in{\Bbb K[X]}\)
Soit \(\alpha\in{\Bbb K}\)
Si \(\alpha\) est une racine de multiplicité \(m\) de \(P\) et \(m\geqslant2\), alors \(\alpha\) est une racine de multiplicité \(m-1\) de \(P'\)
Lemme :
Soit \(m\in{\Bbb N}^\star\) et \(P\in{\Bbb K[X]}\)
Soit \(\alpha\in{\Bbb K}\)
Si \(\alpha\) est une racine de multiplicité \(m\) de \(P\) et \(m=1\), alors \(\alpha\) n'est pas une racine de \(P'\)
(Racine, Polynôme dérivé)
Démonstration :
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Théorème :
Soient \(P\in{\Bbb K[X]}\) un polynôme, \(\alpha\in{\Bbb K}\) un scalaire et \(m\in{\Bbb N}^\star\)
Alors \(\alpha\) est une racine de \(P\) de multiplicité \(m\) si et seulement si $$P(\alpha)=P'(\alpha)=\cdots=P^{(m-1)}(\alpha)=0\quad\text{ et }\quad P^{(m)}(\alpha)\neq0$$
Démonstration :
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Théorème :
Soient \(P\in{\Bbb K[X]}\) un polynôme et \(\alpha_1,\ldots,\alpha_r\in{\Bbb K}\) des racines distinctes de \(P\) de multiplicité respective \(m_1,\ldots,m_r\)
Alors il existe un polynôme \(Q\in{\Bbb K[X]}\) tq : $${{P}}={{Q\prod^r_{i=1}(X-\alpha_i)^{m_i} }}$$
De plus, \(Q\) est tq pour tout \(1\leqslant i\leqslant r\), on a \(Q(\alpha_i)\neq0\)
Démonstration :
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Corollaire :
Soit \(P\in{\Bbb K[X]}\) un polynôme de degré \(\leqslant n\)
Si \(P\) est non nul, alors \(P\) admet au plus \(n\) racines (comptées avec multiplicité)
Corollaire :
Soit \(P\in{\Bbb K[X]}\) un polynôme de degré \(\leqslant n\)
Si \(P\) admet au moins \(n+1\) racines (comptées avec multiplicité), alors \(P\) est le polynôme nul
(Racine, Degré, Polynôme nul, //Théorème fondamental de l’algèbre)
Démonstration :
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